Question

【题目】设函数，其中为常数且.新定义：若满足，但，则称为的回旋点.

（1）当时，分别求和的值；

（2）当时，求函数的解析式，并求出回旋点；

（3）证明函数在有且仅有两个回旋点，并求出回旋点.

Answer 1

【答案】（1），

（2）；是的回旋点（3）见解析，，.

【解析】

（1）利用函数解析式即可求出和的值；

（2）由得出，讨论和时，的解析式，即可得出当时，函数的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出回旋点；

（3）将分成和两种情况进行讨论，得出内的回旋点，结合（2）中得出的内的回旋点，即可证明函数在有且仅有两个回旋点.

解：（1）当时，

∴

（2）中时，值域也是

又，

由，得

∴当时，

同理，当时，

当时，

当，由得

，故不是的回旋点.

当时， 由得

是的回旋点

（3）当时，由解得

由于，故不是的回旋点；

当时由解得

因

故是的回旋点；

因此，函数有且仅有两个回旋点，，.