Question

已知函数（x∈R，p₁，p₂为常数），函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，。
（1）求f（x）=f₁（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b且p₁，p₂∈（a，b），若f（a）=f（b），求证：函数 f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）。

Answer 1

解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x），这又等价于 即3|x-p1|-|x -p2|≤2对所有实数x均成立 （*） 易知函数|x-p1|-|x-p2|（x∈R）的最大值为|p2-p1| 故（*）等价于 这就是所求的充分必要条件。
（2）分两种情形讨论： （i）当时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）， 则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知 再由f1（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度为 如图所示。
（ii）当时，不妨设p1＜p2则 于是，当x≤p1时，有 从而f（x）=f1（x） 当x≥p2时 从而 当p1＜x＜p2时， 由方程 解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为 显然 这表明x0在p1与p2之间，由①易知   综上可知，在区间[a，b]上 如图所示 故由函数f1（x）与f（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0-p1）+（b-p2） 由于f（a）=f（b），即得 故由①、②得 综合（i）、（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为。