Question

15．（1）已知关于x的不等式3x-|-2x+1|≥a，其解集为[2，+∞），求实数a的值；
（2）若对?x∈[1，2]，x-|x-a|≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解绝对值不等式，根据解集得出a的值；
（2）不等式可转化为|x-a|≥x-1≥0，可采用两边平方的方法去绝对值，再对a进行分类讨论得出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由3x-|-2x+1|≥a得：|2x-1|≤3x-a，
∴-3x+a≤2x-1≤3x-a
得：$\left\{\begin{array}{l}x≥\frac{a+1}{5}\\ x≥a-1\end{array}\right.$，故a=3…（5分）
（Ⅱ）由已知得|x-a|≥x-1≥0，
∴（x-a）²≥（x-1）²…（6分）
∴（a-1）（a-2x+1）≥0，
a=1时，（a-1）（a-2x+1）≥0恒成立…（7分）
a＞1时，由（a-1）（a-2x+1）≥0得a≥2x-1，
从而a≥3…（8分）
a＜1时，由（a-1）（a-2x+1）≥0得a≤2x-1，
从而a≤1…（9分）
综上所述，a的取值范围为（-∞，1]∪[3，+∞）…（10分）

点评 考查了绝对值不等式的求解方法和对参数的分类讨论问题．