题目内容
【题目】已知
，设实数
、
、
、
、
、
满足
（i）、、
且不全为0；
（ii）、、
；
（iii）若
，则
.
若所有形如
和
的数均不为2014的倍数，则称集合
为“好集”.求好集所含元素个数的最大值.
【答案】503
【解析】
（1）构造一个503元好集
.
设
.
若
、
、
均不为0，则
.
于是，
为奇数，一定不为2014的倍数.
若、、中有0，不妨设
，则由条件（i）知、中至少有一个不为0.
由条件（iii）知
.
注意到，
.
故
一定不为2014的倍数.
显然，
为奇数，一定不为2014的倍数.
则为503元好集.
（2）设
为好集.下面证明：
.
设的最小元素为
.则集合中任意两元素的差不为.否则，设
、
，
，得
为2014的倍数，矛盾.
将
中大于的元素从大到小每
个分为一组，设可分成
组，余下的
个数为
，
，…，
.
显然，
，组中的每一组至多有个数在集合中.
由好集的定义，知2014、
，且
与
不同在集合中.
不妨设
，否则，只需将集合中大于1007的元素换成.
事实上，若中有某个
，则将其中的
变为
，将
变为
后得到的数与模2014相同.
下面对
分情形讨论.
1）若
，则，，…，中至多有
个数属于集合.
故
.
2）若
，则
.
从而，任意一个好集必满足.
由（1）、（2），知好集所含元素个数的最大值为503.
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