Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形后即可得，再根据线面平行的判定即可得证；

（Ⅱ）由等腰三角形的性质和线面垂直的性质可得、，则可证平面，再根据面面垂直的判定即可得证；

（Ⅲ）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面的一个法向量为，，利用即可得解.

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，

因为是的中点，

所以，且，

在三棱柱中，

因为是的中点，所以，且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）证明：因为，且是的中点，所以，

因为平面，平面，

所以，

又 ，，平面，所以平面，

又，所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则即，

令，则.

设直线与平面所成角为，

则.

即直线与平面所成角的正弦值为.