Question

13．已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）和cos（α+β）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2β的值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，π＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）
=-$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$-（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{5}{13}$=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于基础题．