Question

2．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的弦AB的中点为P（1，$\frac{1}{2}$），则弦AB所在直线的方程及其弦长|AB|．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1．由题意可设弦AB所在直线的方程为y-$\frac{1}{2}$=k（x-1），与椭圆方程联立化为（1+4k²）x²+4k（1-2k）x+（1-2k）²-4=0，利用x₁+x₂=$\frac{4k（2k-1）}{1+4{k}^{2}}$=2，解得k．进而得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1．
由题意可设弦AB所在直线的方程为y-$\frac{1}{2}$=k（x-1），化为y=kx+$\frac{1}{2}$-k．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}-k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²+4k（1-2k）x+（1-2k）²-4=0，（*）
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{4k（2k-1）}{1+4{k}^{2}}$=2，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴弦AB所在直线的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+1，化为：x+2y-2=0．
（*）化为：x²-2x=0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交“中点弦”问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．