Question

【题目】对于函数与常数,若恒成立,则称为函数的一个“数对”;设函数的定义域为,且.

（Ⅰ）若是的一个“数对”,且,求常数的值;

（Ⅱ）若是的一个“数对”,求;

（Ⅲ）若是的一个“数对”,且当, ,求的值及在区间上的最大值与最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，代入解方程组即可；

（Ⅱ）由题意知恒成立,令可得,所以是公差为的等差数列,由等差数列求通项即可得解；

（Ⅲ）代入，可得，进而可得在上的值域，由当时, , ,讨论奇偶即可得最值.

试题解析：

（Ⅰ）由题意知

即

解得

（Ⅱ）由题意知恒成立,

令可得,

所以是公差为的等差数列,

故,

又,

故.

（Ⅲ）当时, ,

令可得,

解得,

所以时, ,

故在上的值域是.

又是的一个“数对”,

故恒成立,

当时, ,

,

故当为奇数时, 在上的取值范围是,

当为偶数时, 在上的取值范围是,

所以当时, 在上的最大值为,最小值为,

当且为奇数时, 在上的最大值为,最小值为,

当为偶数时, 在上的最大值为,最小值为.