Question

函数f（x）是定义在[0，1]上，满足且f（1）=1，在每个区间（i=1，2，3，…）上，y=f（x）的图象都是平行于x轴的直线的一部分．
（1）求f（0）及，的值，并归纳出（i=1，2，3，…）的表达式；
（2）设直线，，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1，2，3，…），求a₁，a₂及的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令式中的x=0，代入可得f（0），再令x=1，可得f（），令x=可得f（），归纳可得；
（2）由题意可得，由等比数列的求和公式可求和，取极限即可．
解答：解：（1）由题意可得f（0）=2f（0），故f（0）=0，
同理可得f（1）=2f（），解得，
所以f（）=2f（），故，
由此可归纳出：（i=1，2，3，…）
（2）当时，取，
∴，，（i=1，2，3，…）
所以{a_n}是首项为，公比为的等比数列，
∴===
点评：本题考查归纳推理，以及数列的极限，属基础题．