Question

【题目】如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．

（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；

（2）如何选取点的位置，能使总造价最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值点，即最值点.

试题解析：解：（1）过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为．

在中，，则

在中，，

由题意易得

因此，

（2）

令， ，因为，所以 ，

设锐角满足，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以当 ，总造价最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．