题目内容
设x=1是函数f（x）=x3+ax2+bx的一个极值点（a＞0）．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m＞0，若f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为-3，最大值为0，求m与a的值．
分析：（ I）设x=1是函数的一个极值点，说明f′（1）=0，代入即可得出求a与b的关系式，再根据此关系代入原函数，得函数中只含有一个字母参数a，讨论导数的零点即可以得出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意知这个最值与区间所在的位置有关，讨论m+1与区间（1，2）的位置关系即可．分当0＜m＜1时和当m≥1时两种情形讨论函数在区间（1，2）的单调性，可以分别得出最大值、最小值的关系式，解出m、a的值，再与大前提比较，可得出符合题意的m与a的值．
（Ⅱ）由题意知这个最值与区间所在的位置有关，讨论m+1与区间（1，2）的位置关系即可．分当0＜m＜1时和当m≥1时两种情形讨论函数在区间（1，2）的单调性，可以分别得出最大值、最小值的关系式，解出m、a的值，再与大前提比较，可得出符合题意的m与a的值．
解答：解：（ I）f'（x）=3x2+2ax+b…（1分）
由已知有：f'（1）=0，∴3+2a+b=0，∴b=-2a-3…（3分）
从而f'（x）=3(x-1)(x+
)
令f'（x）=0得：x1=1，x2=-
．∵a＞0∴x2＜-1
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：
从上表可知：f（x）在(-∞，-
)，（1，+∞）上是增函数；
在(-
，1)，上是减函数 …（6分）
（ II）∵m＞0，∴m+1＞1．由（ I）知：
①当0＜m＜1时，m+1∈（1，2）．则最小值为f（1）=-3，得：a=1…（8分）
此时f（x）=x3+x2-5x．从而f（m）=m（m2+m-5）＜0，
∴最大值为f（m+1）=0，得m=
此时f（m）=m（m2+m-5）=-2m（m+1）∈（-3，0），适合．…（10分）
②当m≥1时，f（x）在闭区间[m，m+1]上是增函数．
∴最小值为f（m）=m（m2+am-2a-3）=-3（1）
最大值为f（m+1）=（m+1）[（m+1）2+a（m+1）-（2a+3）]=0．（2）…（12分）
由（2）得：m2+am-（2a+3）=-2m-1-a…（3）
将（3）代入（1）得：-m（2m+1+a）=-3．即m（2m+1+a）=3
又m≥1，a＞0∴2m+1+a＞3从而m（2m+1+a）＞3
∴此时的a，m不存在
综上知：m=
，a=1．…（14分）
由已知有：f'（1）=0，∴3+2a+b=0，∴b=-2a-3…（3分）
从而f'（x）=3(x-1)(x+
| 2a+3 |
| 3 |
令f'（x）=0得：x1=1，x2=-
| 2a+3 |
| 3 |
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，x2） | （x2，1） | （1，+∞） |
| f'（x） | + | - | + |
| f（x） | 增函数 | 减函数 | 增函数 |
| 2a+3 |
| 3 |
在(-
| 2a+3 |
| 3 |
（ II）∵m＞0，∴m+1＞1．由（ I）知：
①当0＜m＜1时，m+1∈（1，2）．则最小值为f（1）=-3，得：a=1…（8分）
此时f（x）=x3+x2-5x．从而f（m）=m（m2+m-5）＜0，
∴最大值为f（m+1）=0，得m=
| ||
| 2 |
此时f（m）=m（m2+m-5）=-2m（m+1）∈（-3，0），适合．…（10分）
②当m≥1时，f（x）在闭区间[m，m+1]上是增函数．
∴最小值为f（m）=m（m2+am-2a-3）=-3（1）
最大值为f（m+1）=（m+1）[（m+1）2+a（m+1）-（2a+3）]=0．（2）…（12分）
由（2）得：m2+am-（2a+3）=-2m-1-a…（3）
将（3）代入（1）得：-m（2m+1+a）=-3．即m（2m+1+a）=3
又m≥1，a＞0∴2m+1+a＞3从而m（2m+1+a）＞3
∴此时的a，m不存在
综上知：m=
| ||
| 2 |
点评：本题考查函数的最值、函数的最值与函数导数的关系等问题，属于中档题．解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．
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