Question

（2012•湛江二模）设x=1是函数f（x）=

x+a

(x+1)ex

的一个极值点（e为自然对数的底）．
（1）求a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为0，最大值为

1

3e

，且m＞-1．试求m的值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用x=1是函数f（x）=

x+a

(x+1)ex

的一个极值点，可得f′（1）=0，从而可求a的值，进而可确定函数的单调区间；
（2）由（1）知，f(x)=

x- 1 3

(x+1)ex

，对m进行分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数的最值，利用函数f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为0，最大值为

1

3e

，即可求m的值．

解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=-

x2+(a+1)x+2a-1

(x+1)2ex

∵x=1是函数f（x）=

x+a

(x+1)ex

的一个极值点
∴f′（1）=0，∴a=-

1

3

，∴f′(x)=-

(x-1)(x+ 5 3 )

(x+1)2ex

令f′（x）＞0，可得-

5

3

＜x＜-1或-1＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜-

5

3

或x＞1；
∴函数的单调增区间为(-

5

3

，-1)，（-1，1），单调减区间为(-∞，-

5

3

)，（1，+∞）
（2）由（1）知，f(x)=

x- 1 3

(x+1)ex

∵m＞-1
①当-1＜m＜0时，0＜m+1＜1，f（x）在闭区间[m，m+1]上是增函数
∴f（m）=0，∴

m- 1 3

(m+1)em

=0，∴m=

1

3

，不合题意；
②当0≤m＜1时，m+1∈[1，2），此时最大值为f(1)=

1

3e

∵f（x）的最小值f（m）=0，∴

m- 1 3

(m+1)em

=0，∴m=

1

3

；
③当m≥1时，f（x）在闭区间[m，m+1]上是减函数
∵x＞1时，f(x)=

x- 1 3

(x+1)ex

＞0，其最小值不可能为0，∴此时m不存在
综上知，m=

1

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确分类讨论是解题的关键．