Question

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是

1

2

，乙每次击中目标的概率是

2

3

．
（1）求甲至多击中2次，且乙至少击中2次的概率；
（2）若规定每击中一次得3分，未击中得-1，求乙所得分数ξ的概率和数学期望．

Answer 1

分析：（1）先甲至多击中2次的概率，再计算出乙至少击中2次的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论；
（2）确定乙所得分数ξ的可能取值，求出相应的概率，写出分布列，即可求得数学期望．

解答：解：（1）甲至多击中2次的概率P(A)=(

1

2

)3+

C

1 3

(

1

2

)1(

1

2

)2+

C

2 3

(

1

2

)2•

1

2

=

1

8

+

3

8

+

3

8

=

7

8

…（2分）
乙至少击中2次的概率P(B)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)3=3×

4

27

+

8

27

=

20

27

…（4分）
∴甲至多击中2次且乙至少击中2次的概率为P(A)•P(B)=

7

8

×

20

27

=

35

34

…（6分）
（2）由题意ξ=-3，1，5，9，则
P(ξ=-3)=(

1

3

)3=

1

27

…（7分）
P(ξ=1)=

C

1 3

2

3

(

1

3

)2=

6

27

…（8分）
P(ξ=5)=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

12

27

…（9分）
P(ξ=9)=(

2

3

)3=

8

27

…（10分）
∴ξ的分布列为

ξ	-3	1	5	9
P	1 27	6 27	12 27	8 27

∴Eξ=(-3)×

1

27

+1×

3

27

+5×

12

27

+9×

8

27

=

135

27

=5…（12分）

点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．