Question

（2012•红桥区一模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

3

4

，乙每次击中目标的概率

2

3

，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲至少有1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为

3

4

，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．
（II）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．
（III）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．

解答：解：（I）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A₁，
由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
射击3次，相当于3次独立重复试验，
故P（A₁）=1-P（

.

A1

）=1-（

3

4

）³=

37

64

．
故甲至少有1次未击中目标的概率为

37

64

；
（II）由题意知X的可能取值是0，1，2，3
P（X=0）=

C

0 3

•（

1

4

）³=

1

64

，
P（X=1）=

C

1 3

•

3

4

•（

1

4

）²=

9

64

，
P（X=2）=

C

2 3

•（

3

4

）²•

1

4

=

27

64

，
P（X=3）=

C

3 3

•（

3

4

）³=

27

64

，
X的概率分布如下表：

X	0	1	2	3
P	1 64	1 64	27 64	27 64

EX=0•

1

64

+1•

1

64

+2•

27

64

+3•

27

64

=

17

8

（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，
甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B₂，
则A=B₁+B₂，B₁，B₂为互斥事件．                            
P（A）=P（B₁）+P（B₂）=

27

64

•

1

27

+

27

64

•

6

27

=

7

64

∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为

7

64

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．