题目内容

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， $数学公式$ ，a=2， $数学公式$ ．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

解：（I）∵tanA+tanB= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ tanAtanB= $\text{[math]}$ （1-tanAtanB），
∴tan（A+B）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（II）由（I）及A和B都为三角形的内角，得到A+B= $\text{[math]}$ ，
∴C= $\text{[math]}$ ，
∵c²=a²+b²-2abcosC，a=2，c= $\text{[math]}$ ，cosC=- $\text{[math]}$ ，
∴19=4+b²-2×2×b×（- $\text{[math]}$ ），即（b-3）（b+5）=0，
解得：b=3或b=-5（舍去），
∴b=3，又sinC= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ×2×3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知的等式变形后代入，即可求出tan（A+B）的值；
（II）由tan（A+B）的值，及A和B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，进而得出C的度数，得到sinC和cosC的值，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，将a，c及cosC的值代入，求出b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．