Question

（2012•杭州二模）数列{a_n}中，a₁=2，a_n+a_n+1=(

1

5

)n（n∈N^*），S_n=a₁+5a₂+5²a₃+…+5^n-1a_n，则

6Sn- 5 n   an

n

=

n+1

n

．

Answer 1

分析：利用数列{a_n}中，a₁=2，a_n+a_n+1=(

1

5

)n（n∈N^*），可得5nan+5nan+1=1，利用“累加求和”及已知可得6Sn-5nan=n+1，进而即可得出．

解答：解：∵数列{a_n}中，a₁=2，a_n+a_n+1=(

1

5

)n（n∈N^*），
∴5nan+5nan+1=1，
∴a₁=2，
51a1+51a2=1，
52a2+52a3=1
…
5n-1an-1+5n-1an=1，
把上面的n个等式相加得6a1+6×51a2+6×52a3+…+6×5n-2an-1+5n-1an=n+1．
∴6(a1+51a2+52a3+…+5n-2an-1+5n-1an)-5ⁿa_n=n+1
∴6Sn-5nan=n+1，
∴

6Sn-5nan

n

=

n+1

n

．
故答案为

n+1

n

．

点评：熟练掌握“累加求和”和变形利用已知条件是解题的关键．