题目内容

如图，圆O为单位圆，A（1，0），B(

3

2

，

1

2

)，C(

2

2

，

2

2

)，D(

1

2

，

3

2

)，E（0，1），F(-

1

2

，

3

2

)为圆O上的定点，点M为圆O上的动点．M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为α；M第二次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为β．
（Ⅰ）当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C，第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在两个点，能使角α，β同时满足α+2β=

3π

2

，且tan

α

2

tanβ=3-2

3

．若不存在，说明理由；若存在，找出定点并证明．

分析：（Ⅰ）根据C的坐标及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即为α的度数；同理根据D的坐标，及第二次由点A按逆时针方向运动到某定点D，得到β的度数，代入cos（α-β），把角

π

12

变形为

π

4

-

π

3

，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出值；
（Ⅱ）存在两点B和F，满足题意，理由为：由已知的α+2β的度数求出

α

2

+β的度数，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简tan（

α

2

+β），把tan

α

2

tanβ的值及

α

2

+β的度数代入，求出tan

α

2

+tanβ的值，两者联立分别求出tan

α

2

和tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可得到α，β的度数，进而找出对应的点．

解答：解：（Ⅰ）当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C时，所形成的角为α=

π

4

，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，所形成的角为β=

π

3

，
则cos（α-β）=cos

π

12

=cos（

π

4

-

π

3

）=cos

π

4

cos

π

3

+sin

π

4

sin

π

3

=

6

+

2

2

；
（Ⅱ）存在，当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点B，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时，角α=

π

6

，β=

2π

3

，满足题意，
理由如下：
由α+2β=

3π

2

，得到

α

2

+β=

3π

4

，
∵tan

α

2

tanβ=3-2

3

，
∴tan（

α

2

+β）=

tan

α

2

+tanβ

1-tan

α

2

tanβ

=

tan

α

2

+tanβ

1- (3-2

3

)

=-1，
∴tan

α

2

+tanβ=2-2

3

，
∴tan

α

2

=-

3

，tanβ=2-

3

或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=-

3

，
当

α

2

=

2π

3

，β=

π

12

，不满足题意；
当

α

2

=

π

12

，即α=

π

6

，β=

2π

3

时，满足题意，
则M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点B，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时满足题意．

点评：此题考查了三角函数恒等式的证明，涉及的知识有两角和与差的正切、余弦函数公式，点与坐标系，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

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（Ⅰ）当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C，第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在两个点，能使角α，β同时满足 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．若不存在，说明理由；若存在，找出定点并证明．