题目内容

如图，圆O为单位圆，A（1，0）， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，E（0，1）， $数学公式$ 为圆O上的定点，点M为圆O上的动点．M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为α；M第二次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为β．
（Ⅰ）当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C，第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在两个点，能使角α，β同时满足 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．若不存在，说明理由；若存在，找出定点并证明．

解：（Ⅰ）当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C时，所形成的角为α= $\text{[math]}$ ，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，所形成的角为β= $\text{[math]}$ ，
则cos（α-β）=cos $\text{[math]}$
=cos（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=cos $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +sin $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）存在，当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点B，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时，角α= $\text{[math]}$ ，β= $\text{[math]}$ ，满足题意，
理由如下：
由 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ +β= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴tan（ $\text{[math]}$ +β）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-1，
∴tan $\text{[math]}$ +tanβ=2-2 $\text{[math]}$ ，
∴tan $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，tanβ=2- $\text{[math]}$ 或tan $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，tanβ=- $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，β= $\text{[math]}$ ，不满足题意；
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即α= $\text{[math]}$ ，β= $\text{[math]}$ 时，满足题意，
则M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点B，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时满足题意．
分析：（Ⅰ）根据C的坐标及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即为α的度数；同理根据D的坐标，及第二次由点A按逆时针方向运动到某定点D，得到β的度数，代入cos（α-β），把角 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出值；
（Ⅱ）存在两点B和F，满足题意，理由为：由已知的α+2β的度数求出 $\text{[math]}$ 的度数，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简tan（ $\text{[math]}$ ），把 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数代入，求出 $\text{[math]}$ 的值，两者联立分别求出 $\text{[math]}$ 的值，根据特殊角的三角函数值即可得到α，β的度数，进而找出对应的点．
点评：此题考查了三角函数恒等式的证明，涉及的知识有两角和与差的正切、余弦函数公式，点与坐标系，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．