Question

2．下列命题结论中错误的有①②③．
①命题“若x=$\frac{π}{6}$，则sinx=$\frac{1}{2}$”的逆命题为真命题
②设a，b是实数，则a＜b是a²＜b²的充分而不必要条件
③命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x²+x+1＞0”
④函数f（x）=lnx+x-$\frac{3}{2}$在区间（1，2）上有且仅有一个零点．

Answer 1

分析 写出原命题的逆命题，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；写出原命题的否定，可判断③；判断函数的零点个数，可判断④．

解答 解：命题“若x=$\frac{π}{6}$，则sinx=$\frac{1}{2}$”的逆命题为“若sinx=$\frac{1}{2}$，则x=$\frac{π}{6}$”，为假命题，故①错误；
设a，b是实数，则a＜b时，a²＜b²不一定成立，a²＜b²时，a＜b不一定成立，
故a＜b是a²＜b²的既不充分而不必要条件，故②错误；
命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x²+x+1≥0”，故③错误；
函数f（x）=lnx+x-$\frac{3}{2}$在区间（1，2）上单调递增，且f（1）•f（2）=$-\frac{1}{2}$•（ln2+$\frac{1}{2}$）＜0，故函数f（x）=lnx+x-$\frac{3}{2}$在区间（1，2）上有且仅有一个零点，故④正确；
故错误的结论有：①②③，
故答案为：①②③

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了四种命题，充要条件，存在性命题的否定，零点存在定理，难度中档．