Question

若函数f(x)=

1

2

x2-x+a的定义域和值域均为[1，b]（b＞1），求a，b的值．

Answer 1

分析：由二次函数的性质知，其对称轴是x=1，由此知函数在[1，b]是一个增函数，由题设条件定义域和值域均为[1，b]（b＞1），即可转化出关于a，b的方程，求解即可．

解答：解：由函数f(x)=

1

2

x2-x+a，得对称轴方程是x=1
故函数在[1，b]上是增函数
又函数f(x)=

1

2

x2-x+a的定义域和值域均为[1，b]（b＞1），
故有

f(1)=1 f(b)=b

，即

1 2 -1+a=1 1 2 b2-b+a=b

即

a= 3 2 b=1，或3

又b＞1，故有a=

3

2

，b=3
符合题设条件的a，b的值为 a=

3

2

，b=3．

点评：本题的考点是二次函数的性质，考查利用二次函数的单调性转化不等式求参数，此类题是函数单调性运用的一个常见题型，本题有可能因不严谨致错，如解题中忘记考虑b＞1这一条件，致使出现二个结果．