Question

函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，均有f（x+4）=f（x）成立．当x∈（0，2）时，f（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求不等式f(x)＞

3

2

的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x+4）=f（x），得出T=4，利用x∈（0，2）时，f（x）=-x²+2x+1．求出当x∈（-2，0）时，
f（x）=x²+2x-1．得出f（x）在一个周期长度上的解析式，再将x∈[4k-2，4k+2]转化为x∈[-2，2]上求解．
（Ⅱ）先求出不等式f(x)＞

3

2

在[-2，2]上的解集，再利用周期性求出所有的结果．

解答：解：（Ⅰ）当x=0时，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
当x∈（-2，0）时，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=-（x²-2x+1）=x²+2x-1．
由f（x+4）=f（x）知f（x）为周期函数，且T=4．
当x∈[4k-2，4k）（k∈Z）时，x-4k∈[-2，0），
f（x）=f（x-4k）=（x-4k）²+2（x-4k）-1．
当x∈[4k，4k+2]）（k∈Z）时，x-4k∈[0，2]，
f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）²+2（x-4k）+1．
故当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，（x-4k）²+2（x-4k）-1
f（x）=

(x-4k)2+2(x-4k)-1，x∈[4k-2，4k) 0x=4k -(x-4k)2+2(x-4k)+1，x∈(4k，4k+2]

（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，由f(x)＞

3

2

，得

-2≤x＜0 x2+2x-1＞ 3 2

或

0＜x≤2 -x2+2x+1＞ 3 2

解得1-

2

2

＜x＜1+

2

2

，因为f（x）是以4为周期的函数，所以不等式f(x)＞

3

2

的解集是{x|4k+1-

2

2

＜x＜4k+1+

2

2

}

点评：本题考查函数解析式求解，解不等式．考查转化计算能力．