Question

已知函数
（I）求函数f（x）的最小值；
（II）若不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵x＞3，
∴x-3＞0．
∴．…（3分）
当且仅当
即（x-3）²=9时上式取得等号，
又∵x＞3，
∴x=6，…（5分）
∴当x=6时，函数f（x）的最小值是9．…（6分）
（II）由（I）知，当x＞3时，f（x）的最小值是9，
要使不等式恒成立，只需…（9分）
∴即
解得t≤-2或t＞-1
∴实数t的取值范围是（-∞，-2]∪（-1，+∞）．…（12分）
分析：（Ⅰ）将f（x）=x+（x＞3）转化为f（x）=x-3++3（x＞3），应用基本不等式即可求得函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得f（x）_min=9，不等式恒成立，转化为9≥+7恒成立，从而求得实数t的取值范围．
点评：本题考查基本不等式，关键在于将所给的条件转化为能用基本不等式的式子，难点在于（Ⅱ）中不等式恒成立，转化为9≥+7恒成立，属于难题．