题目内容
已知在递增的等差数列{an}中，a1+a4=8，a2a3=15．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
考点：数列的求和,等差数列的性质
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）根据等差数列的性质得：a2+a3=8，再由条件构造方程x2-8x+15=0求根，且a2＜a3，求出a2和a3，求出首项和公差，代入通项公式即可；
（2）利用等比数列的通项公式可求bn-an，结合（1）中的an代入可求bn，利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求．
（2）利用等比数列的通项公式可求bn-an，结合（1）中的an代入可求bn，利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求．
解答：
解：（1）由题意得，a1+a4=8，则a2+a3=8，
∵a2a3=15，∴a2、a3是方程x2-8x+15=0的两根，
∵等差数列{an}是递增数列，∴a2＜a3，
解得a2=3，a3=5，公差d=2，a1=1，
∴an=2n-1；
（2）由题意bn-an=3n-1，∴bn=an+3n-1，
Tn=Sn+（1+3+32+…+3n-1）=
+
=n2+
．
∵a2a3=15，∴a2、a3是方程x2-8x+15=0的两根，
∵等差数列{an}是递增数列，∴a2＜a3，
解得a2=3，a3=5，公差d=2，a1=1，
∴an=2n-1；
（2）由题意bn-an=3n-1，∴bn=an+3n-1，
Tn=Sn+（1+3+32+…+3n-1）=
| n(1+2n-1) |
| 2 |
| 1-3n |
| 1-3 |
| 3n-1 |
| 2 |
点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式和前n项和公式的灵活应用，分组求和求和及等比数列的求和公式等知识的简单运用．
练习册系列答案
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