Question

（2013•天津）已知首项为

3

2

的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 证明Sn+

1

Sn

≤

13

6

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，变形为S₄-S₃=S₂-S₄，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出Sn=1-(-

1

2

)n，代入Sn+

1

Sn

再对n分类进行化简，判断出S_n随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出Sn+

1

Sn

的最大值．

解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差数列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=-

1

2

，
∵a1=

3

2

，∴an=

3

2

•(-

1

2

)n-1=(-1)n-1•

3

2n

；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S_n=

3 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=1-(-

1

2

)n，
∴Sn+

1

Sn

=1-(-

1

2

)n+

1

1-(- 1 2 )n

，
当n为奇数时，Sn+

1

Sn

=1+(

1

2

)n+

1

1+( 1 2 )n

=1+

1

2n

+

2n

1+2n

=2+

1

2n(2n+1)

，
当n为偶数时，Sn+

1

Sn

=1-(

1

2

)n+

1

1-( 1 2 )n

=2+

1

2n(2n-1)

，
∴Sn+

1

Sn

随着n的增大而减小，
即Sn+

1

Sn

≤S1+

1

S1

=

13

6

，且Sn+

1

Sn

≤S2+

1

S2

=

25

12

，
综上，有Sn+

1

Sn

≤

13

6

(n∈N*)成立．

点评：本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力．