Question

已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）；②当x∈（1，2]时，
f（x）=2-x．则（Ⅰ）f（4）=

 

（Ⅱ）方程f(x)=

1

5

的最小正数解为

 

．

Answer 1

分析：根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，

解答：解：依题意，f（4）=2f（2）=2（2-2）=0；
∵对任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2-x，
又f（x）=

1

5

，
∴①当x∈（1，2]时，2-x=

1

5

，解得x=

9

5

；
②当2x∈（1，2]，即x∈（

1

2

，1]时，f（x）=

1

2

f（2x）=

1

2

（2-2x）=

1

5

，解得x=

4

5

；
③当4x∈（1，2]，即x∈（

1

4

，

1

2

]时，f（x）=

1

22

f（4x）=

1

22

（2-4x）=

1

5

，解得x=

3

10

；
④当8x∈（1，2]，即x∈（

1

8

，

1

4

]时，f（x）=

1

23

f（8x）=

1

23

（2-8x）=

1

5

，解得x=

1

20

∉（

1

8

，

1

4

]；
∵

3

10

＜

4

5

＜

9

5

，
∴方程f（x）=

1

5

的最小正数解为

3

10

．
故答案为：0，

3

10

．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数解析式的理解与应用，突出转化思想与方程思想的综合应用，属于难题．