Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）·f（y）．

　　（Ⅰ）求证：f（0）＝1；

　　（Ⅱ）求证：f（x）在R上是增函数；

　　（Ⅲ）设集合A＝{（x，y）|f（）·f（）＜f（1）}，B＝{（x，y）|f（x＋y＋c）＝1，c∈R}，若AB＝，求c的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：为使中出现，设x＝0，y＝1． 　　　　   则，∴  ， ∵  x＞0时，f(x)＞1，∴  f(1)＞1，∴  f(0)＝1． （Ⅱ）证明：设，∈R，且，则， 　　　   　，  ∵  ， 　　　　  若则；  若则； 　　　　  当时，有． 　   　　又∵  ，∴  ，∴  对一切∈R， 有，∴  ，故命题得证． （Ⅲ）∵  ，∴  ，∴  ． 　　 B：由单调性知，∴  ． 　　 ∵  ． ∴  由图形分析知：只要圆与直线相离或相切， 　　∴  ，∴  或．