Question

若函数f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为

π

2

的等差数列．
（1）求m的值．
（2）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且x₀∈[0，

π

2

]，求点A的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式将f（x）=sin²ax-sinaxcosax化为f（x）=-

2

2

sin（2ax+

π

4

）+

1

2

，结合函数图象可得所以m为f（x）的最大值或最小值．
（2）切点的横坐标依次成公差为

π

2

 的等差数列．得出f（x）的最小正周期为

π

2

．从而a=2，确定出f（x）解析式．若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心则应有y₀=0=f（x₀），利用特殊角的三角函数值解此方程求出x₀．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

（1-cos2ax）-

1

2

sin2ax
=-

1

2

（sin2ax+cos2ax）+

1

2

=-

2

2

sin（2ax+

π

4

）+

1

2

因为y=f（x）的图象与y=m相切．所以m为f（x）的最大值或最小值．
即m=

1+ 2

2

或m=

1- 2

2

．
（2）因为切点的横坐标依次成公差为

π

2

的等差数列，所以f（x）的最小正周期为

π

2

．
由T=

2π

2a

=

π

2

得a=2．
∴f（x）=-

2

2

sin（4x+

π

4

）+

1

2

．
由sin（4x₀+

π

4

）=0得4x₀+

π

4

=kπ，即x₀=

kπ

4

-

π

16

（k∈Z）．
由0≤

kπ

4

-

π

16

≤

π

2

得k=1或k=2，
因此点A的坐标为（

3π

16

，

1

2

）或（

7π

16

，

1

2

）

点评：本题考查三角函数公式的应用（包括正用，逆用）、三角函数图象及性质（最值、周期、对称点）、特殊角的三角函数值．需有转化、计算、方程的思想和能力．