Question

已知点P在椭圆+=1 (a＞b＞0)上,F₁、F₂为椭圆的两个焦点，求|PF₁|·|PF₂|的取值范围.

Answer 1

|PF₁|·|PF₂|的取值范围是［b²,a²］.

解析:

设P(x₀,y₀),椭圆的准线方程为y=±,不妨设F₁、F₂分别为下焦点、上焦点，

则=,=.

∴|PF₁|=y₀+a,|PF₂|=a-y₀.

∴|PF₁|·|PF₂|=(a+y₀)(a-y₀)

=a²-y₀².

∵-a≤y₀   ≤a,

∴当y₀=0时，|PF₁|·|PF₂|最大，最大值为a²;当y₀=±a时，|PF₁|·|PF₂|最小，最小值为a²-c²=b^2.因此，|PF₁|·|PF₂|的取值范围是［b²,a²］.