Question

在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB的最小值为（　　）

• A．-

  3

  2

• B．-1
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由a、b、c，成等比数列，知b²=ac，所以cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

1

2

．cos2B+2cosB=2cos²B+2cosB-1=2（cosB+

1

2

）²-

3

2

，当cosB=

1

2

时，cos2B+2cosB取最小值．

解答：解：∵a、b、c，成等比数列，
∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
∴cos2B+2cosB=2cos²B+2cosB-1
=2（cosB+

1

2

）²-

3

2

，
∴当cosB=

1

2

时，cos2B+2cosB取最小值2-

3

2

=

1

2

．
故选C．

点评：本题考查数列与三角函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列和余弦定理的灵活运用．