Question

（2012•湖北模拟）如图，已知四棱锥P一ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1．M是PB的中点．
（1）求证AM=CM；
（2）N是PC的中点，求证DN∥平面AMC．

Answer 1

分析：（1）先证明BC⊥PC，利用在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM=

1

2

PB．在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM=

1

2

PB，得到AM=CM．
（2）连接DB交AC于F，取PM中点G，连接DG，FM，说明DG∥FM，证明DG∥平面AMC，连DN，GN，证明GN∥MC．然后证明DN∥平面ACM

解答：证明：（1）在直角梯形ABCD中，BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD、BC?平面ABCD．
∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM=

1

2

PB．
在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM=

1

2

PB，
∴AM=CM．
（2）连接DB交AC于F，
∵DC

∥

.

1

2

AB，∴DF=

1

2

FB．
取PM中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，
又DG?平面MAC，FM?平面AMC，
∴DG∥平面AMC，连DN，GN，则GN∥MC，
∴GN∥平面AMC，又GN∩DG=G，
∴平面DNG∥平面ACM，
又DN?平面DNG，
∴DN∥平面ACM．

点评：本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，证明线段相等，直线与平面平行的判定定理的应用，是中档题．