题目内容

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，直线l与曲线C相交于不同的A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若直线l经过点F（1，0），求 $数学公式$ 的值；
（3）若 $数学公式$ ，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

解：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，
∴曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线
∵ $\text{[math]}$ ，∴p=2
∴曲线C方程是y²=4x
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，由 $\text{[math]}$ 解得A（1，2）、B（1，-2）
此时 $\text{[math]}$
当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由 $\text{[math]}$ 得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂=1， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（3）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b．
∵ $\text{[math]}$
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b．
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2，
∴直线l过定点（2，0）．
分析：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C方程；
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，此时 $\text{[math]}$ ；当l不平行于y轴时，设l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积，可得 $\text{[math]}$ 的值；
（3）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0，利用韦达定理及 $\text{[math]}$ ，可得b的值，从而可得结论．
点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的数量积，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，联立方程，利用韦达定理求解．