Question

22.已知抛物线C:y＝x²＋4x＋,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.

   (Ⅰ)若C在点M法线的斜率为－,求点M的坐标(x₀,y₀);

   (Ⅱ)设P (－2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该

点的法线通过点P？若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程；

若没有,请说明理由.

Answer 1

22.本小题主要考查导数的几何意义和应用,直线方程以及综合运用数学知

 识解决问题的能力.满分14分.

 解:

(Ⅰ)函数y＝x²+4x+的导数

 ＝2x+4

C上点(x_0,y₀)处切线的斜率

　　　　　k₀＝2x₀+4,

  因为过点(x₀,y₀)的法线斜率为－,

　所以－(2x₀+4)＝－1,

  解得x₀＝－1,y₀＝,

  故点M的坐标为(－1,).

  (Ⅱ)设M(x₀,y₀)为C上一点.

　(i)若x₀＝－2,则C上点M(－2,－)处的切线斜率k＝0,过点M(－2,－)的法线方程为x＝－2,此法线过点P(－2,a).

  (ii)若x₀≠－2,则过点M(x₀,y₀)的法线方程为

y－y₀＝－(x－x₀).                  ①

　 若法线过P(－2,a),则a－y₀＝－(－2－x₀),

   即　　　(x₀+2)²＝a.                               ②

　 若a>0,则x₀＝－2±,从而

          y₀＝x+4x₀+＝,

   将上式代入①,化简得

　　　　　 x+2y+2－2a＝0,

           x－2y+2+2a＝0.

  若a＝0,则与x₀≠－2矛盾.

若a<0,则②式无解.

综上,当a>0时,在C上有三个点(－2+,),(－2－,)

及(－2,－).在这三点的法线过点P(－2,a),其方程分别是:

  x+2y+2－2a＝0,

  x－2y+2+2a＝0,

  x＝－2.

    当a≤0时,在C上有一个点(－2,－),在这点的法线过点P(－2,a),其方程为:x＝－2.