Question

已知{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n+1，
（1）求证：{a_n+1}是等比数列；
（2）求这个数列的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由题意变形可得

an+1+1

an+1

=2，可得结论；（2）又可知a₁+1=4，由等比数列的通项公式可得a_n+1=2ⁿ⁺¹，变形可得．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2a_n+2，
即a_n+1+1=2（a_n+1），

an+1+1

an+1

=2
故可得数列{a_n+1}是2为公比的等比数列；
（2）又可知a₁+1=3+1=4，
故a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-1

点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及等比关系的确定，属基础题．