Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．设直线l为x=ty-4，写出AB中垂线方程，进而得到P点坐标，表示出P到直线l的距离d，据弦长公式求出|AB|，则有d=

3

2

•|AB|
，解出即可，注意要保证直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆方程联立消元后△＞0．

解答：解：（Ⅰ）设点N（0，n），则MN的中点为（-

1

2

，

n

2

），
∴

(- 1 2 )2

4

+

( n 2 )2

3

=1，解得n=±

3

2

5

，
所以直线l的方程为：y=±

3

2

5

（x+1）．                         
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．
设直线l为x=ty-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x=ty-4 3x2+4y2=12

，∴（3t²+4）y²-24ty+36=0，
∴y₁+y₂=

24t

3t2+4

，y1y2=

36

3t2+4

，△=144（t²-4）＞0，
∴AB中点为（

-16

3t2+4

，

12t

3t2+4

），
∴AB的中垂线为：y-

12t

3t2+4

=-t（x+

16

3t2+4

），
∴点P为（-

4

3t2+4

，0），∴P到直线l的距离d=

| 2t2+12 3t2+4 |

t2+1

=

12 t2+1

3t2+4

，
∵|AB|=

12 t2-4

3t2+4

1+t2

，
∴

12 t2+1

3t2+4

=

3

2

•

12 t2-4

3t2+4

1+t2

，
∴t=±

4 3

3

，
∴存在点P为（-

1

5

，0）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．