Question

设f1(x)=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，则a₂₀₁₀=（　　）

• A．(

  1

  2

  )2008
• B．(-

  1

  2

  )2009
• C．(

  1

  2

  )2010
• D．(-

  1

  2

  )2011

Answer 1

分析：由已知中f1(x)=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，类比推理，计算出数列的前若干项，分析数列各项的变化规律，可归纳出数列的通项公式，进而得到答案．

解答：解：∵f1(x)=

2

1+x

，an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，
∴f₁（0）=2，a1=

2-1

2+2

=

1

4

又∵f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（0）=f₁[f₁（0）]=f₁（2）=

2

3

，a2=

2 3 -1

2 3 +2

=-

1

8

∴f₃（0）=f₁[f₂（0）]=f₁（

2

3

）=

6

5

，a3=

6 5 -1

6 5 +2

=

1

16

∴f₄（0）=f₁[f₃（0）]=f₁（

6

5

）=

10

11

，a4=

10 11 -1

10 11 +2

=-

1

32

∴f₅（0）=f₁[f₄（0）]=f₁（

10

11

）=

22

21

，a5=

22 21 -1

22 21 +2

=

1

64

…
由此归纳推理得：an=(-

1

2

)n+1
∴a₂₀₁₀=(-

1

2

)2011
故选D

点评：本题考查的知识点是数列的应用，数列的函数特征，归纳推理，其中根据已知列出数列前若干项，并归纳出数列的通项公式，是解答的关键．