题目内容
6．已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=loga|x|在（-∞，0）上是减函数，又g（x）=ax+$\frac{1}{{a}^{x}}$，则下列选项正确的（ ）| A． | g（-2）＜g（1）＜g（3） | B． | g（1）＜g（-2）＜g（3） | C． | g（3）＜g（-2）＜g（1） | D． | g（-2）＜g（3）＜g（1） |
分析 根据题意，由函数f（x）在（-∞，0）上的解析式，结合其在（-∞，0）上是减函数，分析可得a＞1，对于g（x），分析可得为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，据此分析可得答案．
解答 解：根据题意，当x∈（-∞，0）时，f（x）=loga|x|=loga（-x），
若函数f（x）=loga|x|在（-∞，0）上是减函数，即loga（-x）在在（-∞，0）上是减函数，
则有a＞1，
又g（x）=ax+$\frac{1}{{a}^{x}}$，有g（-x）=a-x+$\frac{1}{{a}^{-x}}$=ax+$\frac{1}{{a}^{x}}$=g（x），即g（x）=g（-x），则函数g（x）为偶函数，
则有g（-2）=g（2），
当x＞0时，g′（x）=axlna-$\frac{1}{{a}^{x}}$lna=lna（ax-$\frac{1}{{a}^{x}}$）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）为增函数，
则g（1）＜g（2）=g（-2）＜g（3）；
故选：B．
点评 本题考查的知识点是复合函数单调，其中利用复合函数的单调性性质，确定底数a的取值范围是解答本题的关键．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$ | B． | -$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$ | C． | $\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$ | D． | $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$ |