Question

设a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C所对的边，则a²=b（b+c）是A=2B的（　　）

• A、充要条件
• B、充分而不必要条件
• C、必要而不充分条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先假设a²=b（b+c）成立，通过正弦定理和二倍角公式可证A=2B成立，所以是充分条件；
若A=2B同样通过正弦定理和二倍角公式可证a²=b（b+c）成立，故必要，所以是充要条件．

解答：解：设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a²=b（b+c），
则sin²A=sinB（sinB+sinC），
则

1-cos2a

2

=

1-cos2B

2

+sinBsinC，
∴

1

2

(cos2B-cos2A)=sinBsinC，sin（B+A）sin（A-B）=sinBsinC，
又sin（A+B）=sinC，
∴sin（A-B）=sinB，
∴A-B=B，A=2B，
若△ABC中，A=2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，
得到a²=b（b+c），
所以a²=b（b+c）是A=2B的充要条件，
故选A．

点评：本题主要考查充分、必要条件的判定和正弦定理、二倍角公式的应用．这里一定要熟练掌握三角函数的所有公式才能做到游刃有余．