Question

△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，角A的平分线AD交BC边于D，A=60°．
（1）求证：AD=

3 bc

b+c

；
（2）若

BD

=2

DC

，AD=4

3

，求其三边a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）将△ABC分成△ABD和△ACD，可得S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD．由三角形的面积公式建立等式并化简整理，即可得到所求证的等式成立．
（2）根据三角形的内角平分线定理，结合题意得到c=2b．由（1）中证出的等式，可得bc=4（b+c），两式联立解得到b=6，c=12．最后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosB的式子算出边a的长，即可得到三边a、b、c的值．

解答：解：（1）根据题意，可得
S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD
由三角形的面积公式，得

1

2

•b•csin60°=

1

2

•c•AD•sin30°+

1

2

b•AD•sin30°
化简整理，可得AD=

3 bc

b+c

．
（2）∵AD为三角形ABC的角平分线，且

BD

=2

DC

，
∴

c

b

=

|BD|

|DC|

=2，可得c=2b----①
又∵由（1）的结论，得AD=4

3

=

3 bc

b+c

，
∴bc=4（b+c），----②
由①②联解，可得b=6，c=12
在△ABC中，由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccosB=62+122-2×6×12×

1

2

=108，可得a=6

3

（舍负）
综上所述，三角形三边a、b、c的值分别为a=6

3

，b=6，c=12．

点评：本题给出三角形的角平分线，在已知角A的大小情况下解三角形．着重考查了三角形的面积公式、向量的线性运算法则和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．