Question

在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则

MA

+

MB

+

MC

=

0

设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如a

MA

+b

MB

+

3

3

c

MC

=

0

，则内角A的大小为

 

；若a=3，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

分析：由题意得，（a-

3

3

c）

MA

+（b-

3

3

c）

MB

=

0

，∵

MA

 与 

MB

不共线，∴a-

3

3

c=b-

3

3

c=0，余弦定理可求得cosA，从而求得 A  和△ABC面积S．

解答：解：由  a

MA

+b

MB

+

3

3

c

MC

=a

MA

+b

MB

+

3

3

c（-

MA

-

MB

 ）=（a-

3

3

c）

MA

+（b-

3

3

c）

MB

=

0

，
∵

MA

与

MB

不共线，∴a-

3

3

c=b-

3

3

c=0，
∴a=b=

3

3

c，△ABC中，由余弦定理可求得cosA=

3

2

，∴A=

π

6

．
若a=3，则 b=3，c=3

3

，△ABC面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×3

3

×

1

2

=

9 3

4

，
故答案为

π

6

； 

9 3

4

．

点评：本题考查两个向量的运算，余弦定理的应用，求得 a=b=

3

3

c，是解题的难点和关键．