Question

已知i，m，n是正整数，且1＜i＜≤m＜n．

(1)证明：nⁱ＜mⁱ

(2)证明：(1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)对于1＜i≤m，有＝m(m－1)·…·(m－i＋1) 　　·…·，同理·…·． 　　由于m＜n，对整数k＝1，2，…，i－1，有＞． 　　所以＞，即＞． 　　(2)由二项式定理有：(1＋m)n＝，(1＋n)m＝ 　　由(1)知，＞(1＜i≤m＜n)．而， 　　所以，＞(1＜i≤m＜n)，因此，＞ 　　又＝1，＝mn，＞0(m＜i≤n)． 　　∴＞，即(1＋m)n＞(1＋n)m．