Question

【题目】已知函数是的一个极值点.

（1）若是的唯一极值点，求实数的取值范围；

（2）讨论的单调性；

（3）若存在正数，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时， 在递减，在上递增，当时， 在,上递增，在上递减,当时， 在, 上递增，在递减， 时， 在上递增；（3）或.

【解析】试题分析：（1）对函数求导，由是极值点得，由此可得，即，由函数有唯一极值点可得恒成立或恒成立，由恒成立得，后者不可能，故可得的取值范围；（2）对导函数的零点进行讨论，分为， ， 和四种情形可得导数与0的关系进而得其单调性；（3）依据（2）中结果，当时，当时， 均满足题意；当时，根据单调性或成立即可，当时， 满足题意.

试题解析：（1）， 是极值点

，故， ，

是唯一的极值点， 恒成立或恒成立

由恒成立得，又 ，由恒成立得，而不存在最小值， 不可能恒成立.

（2）由（1）知，当时， ， ； ， .

在递减，在上递增；当时， ， ， ； ， ； ， ， 在、上递增，在上递减，当时， 在、 上递增，在递减。

时， 在上递增.

（3）当时， ，满足题意；当时， ，满足题意；当时，由（2）知需或，

当时， ，而，故存在使得，这样时的值域为从而可知满足题意

当时，得或者解得；

当时， 可得满足题意， 的取值范围或.