题目内容

已知方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0的四个根组成一个首项为 $数学公式$ 的等差数列，则|m-n|=________

$\text{[math]}$
分析：把方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0化为x²-2x+m=0，或x²-2x+n=0，设设 $\text{[math]}$ 是第一个方程的根，代入方程即可求得m，则方程的另一个根可求；设另一个方程的根为s，t，（s≤t）根据韦达定理可知∴s+t=2= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 根据等差中项的性质可知四个跟成的等差数列为 $\text{[math]}$ ，s，t， $\text{[math]}$ ，进而根据数列的第一项和第四项求得公差，则s和t可求，进而根据韦达定理求得n，最后代入|m-n|即可．
解答：方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0可化为
x²-2x+m=0①，或x²-2x+n=0②，
设 $\text{[math]}$ 是方程①的根，
则将 $\text{[math]}$ 代入方程①，可解得m= $\text{[math]}$ ，
∴方程①的另一个根为 $\text{[math]}$ ．
设方程②的另一个根为s，t，（s≤t）
则由根与系数的关系知，s+t=2，st=n，
又方程①的两根之和也是2，
∴s+t= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
由等差数列中的项的性质可知，
此等差数列为 $\text{[math]}$ ，s，t， $\text{[math]}$ ，
公差为[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]÷3= $\text{[math]}$ ，
∴s= $\text{[math]}$ ，t= $\text{[math]}$ ，
∴n=st= $\text{[math]}$
∴，|m-n|=| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生创造性思维和解决问题的能力．