Question

已知方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0的四个根组成一个首项为

1

4

的等差数列，则|m-n|=

 

Answer 1

分析：把方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0化为x²-2x+m=0，或x²-2x+n=0，设设

1

4

是第一个方程的根，代入方程即可求得m，则方程的另一个根可求；设另一个方程的根为s，t，（s≤t）根据韦达定理可知∴s+t=2=

1

4

+

7

4

根据等差中项的性质可知四个跟成的等差数列为

1

4

，s，t，

7

4

，进而根据数列的第一项和第四项求得公差，则s和t可求，进而根据韦达定理求得n，最后代入|m-n|即可．

解答：解：方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0可化为
x²-2x+m=0①，或x²-2x+n=0②，
设

1

4

是方程①的根，
则将

1

4

代入方程①，可解得m=

7

16

，
∴方程①的另一个根为

7

4

．
设方程②的另一个根为s，t，（s≤t）
则由根与系数的关系知，s+t=2，st=n，
又方程①的两根之和也是2，
∴s+t=

1

4

+

7

4

由等差数列中的项的性质可知，
此等差数列为

1

4

，s，t，

7

4

，
公差为[

7

4

-

1

4

]÷3=

1

2

，
∴s=

3

4

，t=

5

4

，
∴n=st=

15

16

∴，|m-n|=|

7

16

-

15

16

|=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生创造性思维和解决问题的能力．