Question

以一张半径为R，圆心角为α（0＜α＜2π）的扇形纸片做材料，如图从中裁下一个扇形，做成一个漏斗（无底），裁下的扇形的圆心角为多大时，做成的漏斗体积最大？

Answer 1

【答案】分析：设裁下的扇形的圆心角为x，做成的漏斗的底面半径为r，求得做成的漏斗体积表达式，利用导数法可求得做成的漏斗体积最大值．
解答：解：设裁下的扇形的圆心角为x，做成的漏斗的底面半径为r，则Rx=2πr，
V=πr²
=π
=，
令g（x）=4π²x⁴-x⁶，
g′（x）=2x³（8π²-3x²）=0，
∴x=π．
∴g（x）在（0，π）上单调递增，在（π，+∞）上单调递减，
∴当α≥π时，裁下的扇形的圆心角为π．
当当α＜π时，此扇形不必裁剪．
点评：本题考查扇形的面积公式，考查导数的应用，考查函数与方程思想，考查分类讨论思想，属于难题．