Question

如图，在半径为R、圆心角为

π

3

的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与∠AOB的平分线OC平行，设∠POC=θ．
（1）试写出用θ表示长方形EPQF的面积S（θ）的函数；
（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形EPQF的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ，可求PC，OC，从而可得EF，EP，即可求长方形EPQF的面积，；
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．

解答：解：（1）由条件得CP=Rsinθ，EP=Rcosθ-

CP

tan π 6

=Rcosθ-

3

Rsinθ，
从而S(θ)=2Rsinθ(Rcosθ-

3

Rsinθ)．…（4分）
（2）由（1）得S(θ)=R2[sin2θ-

3

(1-cos2θ)]=2R2sin(2θ+

π

3

)-

3

R2，
所以当2θ+

π

3

=

π

2

时，即θ=

π

12

，S(θ)取得最大值，为(2-

3

)R2．…（7分）
此时EF=2Rsin

π

12

=

6 - 2

2

R，EP=Rcos

π

12

-

3

Rsin

π

12

=

6 - 2

2

R，
所以EPQF为正方形，依题意知制成的圆柱底面应是由EF围成的圆，
从而由周长2πr=EF=

6 - 2

2

R，得其半径为

6 - 2

4π

R≈0.084R．…（11分）
另一方面，如图所示，设圆与OA边切于点H，连接GE、GH、GA，EA=OA-OE=

2+ 2 - 6

2

R．
设两小圆的半径为GH=r，则EH=

r

tan π 12

=(2+

3

)r，
且AH＞r，从而(2+

3

)r+r＜

2+ 2 - 6

2

R，所以r＜

2+ 2 - 6

2(3+ 3 )

R≈0.10R，
因0.084R＜0.10R，
所以能作出满足条件的两个圆．此时圆柱的体积V=

(3 6 -5 2 )R3

8π

．…（16分）

点评：本题用柱体的侧面积和体积作为载体，重点考查了三角函数的运算与性质，求侧面积 S（θ）的最大值和柱体的体积时，考查了两角和与差的运算，且运算量较大，属于中档题．