Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的T_n与

23n2-13n

2

的大小并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点⇒

2a+b=1 4a+b=3

⇒

a=1 b=-1

，故f（x）=2^x-1，又C（n，S_n）在f（x）的图象上⇒Sn=2n-1，由此能求出{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn=3n•2n-n⇒Tn=3(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+3+…+n)，令Pn=1•21+2•22+…+n•2n，由错位相减法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由Tn-

23n2-13n

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

-

23n2-13n

2

=6(n-1)[2n-(2n+1)]，能比较T_n与

23n2-13n

2

的大小并说明理由．

解答：（本小题14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点⇒

2a+b=1 4a+b=3

⇒

a=1 b=-1

，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在f（x）的图象上⇒Sn=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
cn=3n•2n-n⇒Tn=3(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+3+…+n)，
令Pn=1•21+2•22+…+n•2n，
由错位相减法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，
又1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故Tn=3Pn-

n(n+1)

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由Tn-

23n2-13n

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

-

23n2-13n

2

=6(n-1)[2n-(2n+1)]
当n=1时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=0，Tn=

23n2-13n

2

当n=2时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=-6，Tn＜

23n2-13n

2

当n=3时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=12，Tn＞

23n2-13n

2

下证n≥3时，Tn＞

23n2-13n

2

，
即证n≥3时，2ⁿ＞2n+1，
∵n≥3时，2n=(1+1)n=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

≥

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2＞2n+1成立，
∴n≥3时，Tn＞

23n2-13n

2

成立，
综上所述：n=1时，Tn=

23n2-13n

2

；
n=2时，Tn＜

23n2-13n

2

；
n≥3时，Tn＞

23n2-13n

2

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．