Question

已知椭圆，直线L：4x-5y+40=0，若椭圆上的点到直线l的距离最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，将直线l：4x-5y+40=0平移，使得其与椭圆相切，则可知切线与直线l的距离最小或最大，故设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0与椭圆方程联立，利用判别式为0可求解．
解答：解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0   （1）
由方程组
消去y，得25x²+8kx+k²-225=0   （2）
令方程（2）的根的判别式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0  （3）
解方程（3）得k₁=25或k₂=-25，
∴当k₁=25时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0
直线m与直线l间的距离d===
故答案为：
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是将直线l：4x-5y+40=0平移，使得其与椭圆相切，属基础题．