Question

19．已知等差数列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，且数列{b_n}满足b_n=2^11-a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）已知S_n是数列{a_n}的前n项之和，T_m是数列{b_n}的前m项之和，若$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$的最大值恒大于T_m，求符合条件的m值．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，可得a₂+a₅=15，a₂a₅=54，因此a₂，a₅是一元二次方程x²-15x+54=0的两个实数根，且a₂＞a₅，
解得a₂，a₅．解得d，可得a_n．即可得出b_n，利用等比数列的定义即可证明．
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式可得S_n，T_m，可得$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$及其最大值，即可解出．

解答 （1）证明：∵等差数列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，
∴a₂+a₅=15，a₂a₅=54，
∴a₂，a₅是一元二次方程x²-15x+54=0的两个实数根，且a₂＞a₅，
解得a₂=9，a₅=6．
∴3d+9=6，解得d=-1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=9-（n-2）=11-n．
∴b_n=2^11-a_n=2ⁿ，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
（2）解：S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n$．
T_m=$\frac{2（{2}^{m}-1）}{2-1}$=2^m+1-2，
$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$=$\frac{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n-（11-n）}{n}$=$\frac{23}{2}$-$（\frac{1}{2}n+\frac{11}{n}）$≤$\frac{27}{4}$（n=4时取等号）．
∵$\frac{27}{4}$≥T_m=2^m+1-2，
解得m=2，1．
∴符合条件的m值为：1，2．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．