Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上顶点为A，Q为x轴正半轴上一点，P为椭圆上异于A的一点，且

AF

•

AQ

=0．
（1）若

AP

=λ

AQ

，求λ的值；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+

3

y+3=0相切，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆离心率可知b=

3

c，进而根据

AF

•

AQ

=0．得AQ⊥AF，所以得到直线AQ的斜率，进而求得Q的坐标，最后利用向量的坐标表示进而可得答案．
（2）依题意可设QF的中点为M，则M（c，0），|

QF

|=4c，从而过A，Q、F三点的椭圆的圆心M（c，0）半径为

1

2

|

OF

|=2c，又因此圆与l的相切，相切可知圆心到直线的距离等于半径，建立等式可求得c，进而求得a和b．椭圆的方程可得．

解答：解：（1）令c=

a2-b2

由椭圆离心率e=

1

2

，可得a=2c，b=

3

c，…（1分）
则题意知A（0，b），F（-c，0），所以直线AF的斜率为

b

c

=

3

，
由

AF

•

AQ

=0．得AQ⊥AF，所以直线AQ的斜率为-

1

3

设Q(x1，0)，则KAQ=

b-0

0-x1

=-

1

3

所以x1=

3

b=3c，即Q(3c，0)…（3分）
又设P(x0，y0)，则

AP

=(x0，y0-b)，

AQ

=(3c，-b)
由

AP

=λ

AQ

，
得

x0=3λc y   0 -b=-λb

，即

x0=3λc y0=b-λb

，…（5分）
点P(3λc，b-λb)在椭圆上，所以

(3λc)2

a2

+

(b-λb2)

b2

=1，
将a=2c，b=

3

c代入上式，可得λ=0（舍）或λ=

8

13

，
所以λ的值为

8

13

．
（2）设QF的中点为M，则M（c，0），|

QF

|=4c，…（9分）
所以过A，Q、F三点的椭圆的圆心M（c，0）半径为

1

2

|

OF

|=2c…（9分）
又因此圆与l的相切，所以

|c+3|

12+(3)2

=2c，
解得c=1，所以a=2，b=

3

，
椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1…（12分）

点评：本题主要考查了椭圆的应用．注意圆锥曲线之间相交和相切的关系，根据这些关系找到解决问题的途径．