题目内容
【题目】已知圆
:
，直线
： 
．
（1）设点
是直线
上的一动点，过
点作圆
的两条切线，切点分别为
，求四边形
的面积的最小值；
（2）过
作直线
的垂线交圆
于
点， 
为
关于
轴的对称点，若
是圆
上异于
的两个不同点，且满足： 
，试证明直线
的斜率为定值．
【答案】(1) 
(2) 见解析
【解析】试题分析：(1) 四边形PAOB为两个对称的直角三角形构成，其中OA与OB为圆的半径，其值固定不变，故到当PO最小值，四边形PAOB的面积最小，即圆心到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出PO的长，利用勾股定理求出此时AP的长，利用三角形的面积公式求出两直角三角形的面积，即为四边形PAOB面积的最小值．
(2) 
， 
，设直线
的斜率为
，则 
斜率为
，联立
消
得： 
，得
，
同理
，从而得到直线
的斜率为定值．
试题解析：
（1）设四边形
的面积为
， 
，
，所以，当
最小时， 
就最小，
，所以： 
．
（2）直线
的方程为： 
，代入
，且
在第一象限，
得
则
．设
， 
，
证法1： 
， 
设直线
的斜率为
，则 
斜率为
，
， 
，
联立
消
得： 
，
，得
，
同理
，
，
所以，直线
的斜率为定值1．
证法2： 
， 
的弧长等于
的弧长，则
，
所以： 
，
展开得： 
，
因为
在圆
上，则满足： 
，
所以整理为： 
，即： 
，
故
，为定值．
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